Аполлондық тығыздағыш-бұл бір үлкен шеңбердің ішінде үнемі қысқаратын шеңберлер жиынтығынан құралған фракталдық кескін түрі. Аполлондық тығыздағыштағы әрбір шеңбер іргелес шеңберлерге жанасады - басқаша айтқанда, аполлондық тығыздағыштағы шеңберлер шексіз ұсақ нүктелерде байланыс жасайды. Перганың грек математигі Аполлонийдің есімімен аталған фракталдың түрі (қолмен немесе компьютермен) әдемі және таңғажайып бейнені қалыптастыратындай күрделілік дәрежесінде салынады. Жұмысты бастау үшін төмендегі 1 -қадамды қараңыз.
Қадамдар
2 бөлімнің 1 бөлігі: Негізгі ұғымдарды түсіну
Егер сіз аполлондық тығыздағышты салғыңыз келсе, фракталдың математикалық принциптерін зерттеу маңызды емес. Алайда, егер сіз аполлондық тығыздағыштар туралы тереңірек түсінгіңіз келсе, оларды талқылау кезінде қолданатын бірнеше ұғымдардың анықтамасын түсіну маңызды.
Қадам 1. Негізгі терминдерді анықтаңыз
Төмендегі нұсқауларда келесі терминдер қолданылады:
- Аполлондық тығыздағыш: Фракталдың бір үлкен шеңбердің ішіне кірістірілген және жақын маңдағы басқаларға жанасатын шеңберлерден тұратын бірнеше атауларының бірі. Оларды «Содди шеңберлері» немесе «Сүйісу шеңберлері» деп те атайды.
- Шеңбер радиусы: шеңбердің центрлік нүктесінен оның шетіне дейінгі арақашықтық. Әдетте r айнымалысы тағайындалады.
- Шеңбердің қисаюы: радиустың оң немесе теріс кері немесе ± 1/r. Қисықтық шеңбердің сыртқы қисықтығымен оң және ішкі қисықтық үшін теріс болады.
- Тангенс: бір шексіз кішкене нүктеде қиылысатын түзулерге, жазықтықтарға және фигураларға қолданылатын термин. Аполлондық тығыздағыштарда бұл әрбір шеңбердің жақын орналасқан әрбір шеңберге бір нүктеде тиетінін білдіреді. Ешқандай қиылысу жоқ екенін ескеріңіз - жанама пішіндер бір -бірімен қабаттаспайды.
Қадам 2. Декарт теоремасын түсіну
Декарт теоремасы - бұл аполлондық тығыздағыш шеңберлердің өлшемдерін есептеуге пайдалы формула. Егер біз кез келген үш шеңбердің қисық сызықтарын (1/r) сәйкесінше a, b және c деп анықтасақ, теорема шеңбердің (немесе шеңберлердің) үшеуіне де жанасатын қисықтығын айтады, біз оны d деп анықтаймыз.: d = a + b + c ± 2 (шаршы (a × b + b × c + c × a)).
Біздің мақсатымыз үшін біз көбіне квадрат түбірдің алдына қосу белгісін қою арқылы алынған жауапты қолданамыз (басқаша айтқанда,… + 2 (sqrt (…)). Әзірге азайтуды білу жеткілікті. теңдеудің формасы басқа байланысты тапсырмаларда қолданылады
2 бөліктің 2 бөлігі: Аполлондық тығыздағыштың құрылысы
Аполлондық тығыздағыштар қысқаратын шеңберлердің әдемі фракталдық орналасуы түрінде болады. Математикалық тұрғыдан аполлондық тығыздағыштардың шексіз күрделілігі бар, бірақ сіз компьютерлік сурет салу бағдарламасын немесе дәстүрлі сурет құралдарын қолдансаңыз да, ақырында шеңберді кішірек салу мүмкін болмайтын нүктеге жетесіз. Дөңгелектерді неғұрлым дәл сызған сайын, тығыздағышқа соғұрлым көп сәйкес келетінін ескеріңіз.
Қадам 1. Сандық немесе аналогтық сурет салу құралдарын жинаңыз
Төмендегі қадамдарда біз өзіміздің қарапайым аполлондық тығыздағышты жасаймыз. Аполлондық тығыздағыштарды қолмен немесе компьютерде салу мүмкін. Қалай болғанда да, сіз дөңгелек шеңберлер жасай аласыз. Бұл өте маңызды. Аполлондық тығыздағыштағы әрбір шеңбер оның жанындағы шеңберлерге өте жанасатын болғандықтан, сәл деформацияланған шеңберлер сіздің соңғы өніміңізді «тастауы» мүмкін.
- Егер тығыздағышты компьютерде сызатын болсаңыз, сізге орталық нүктеден радиусы тұрақты шеңберлерді оңай салуға мүмкіндік беретін бағдарлама қажет.-g.webp" />
- Тығыздағышты қолмен салу үшін сізге калькулятор (ғылыми немесе графикалық ұсыныс), қарындаш, циркуль, сызғыш (миллиметрлік таңбасы бар шкала, графикалық қағаз және ноутбук қажет).
Қадам 2. Бір үлкен шеңберден бастаңыз
Сіздің бірінші тапсырмаңыз оңай - бір үлкен, өте жақсы дөңгелек шеңберді сызыңыз. Шеңбер неғұрлым үлкен болса, соғұрлым сіздің тығыздағышыңыз күрделірек болады, сондықтан қағазды рұқсат ететіндей немесе сурет салу бағдарламаңыздың бір терезесінде көруге болатындай үлкен шеңбер жасауға тырысыңыз.
Қадам 3. Түпнұсқаның ішінде бір жаққа жанасатын кішірек шеңбер жасаңыз
Әрі қарай, біріншісінің ішіне түпнұсқадан кіші, бірақ әлі де жеткілікті үлкен басқа шеңбер салыңыз. Екінші шеңбердің нақты өлшемі сізге байланысты - дұрыс өлшем жоқ. Алайда, біздің мақсатымыз үшін, біздің үлкен шеңбердің жартысына жететін етіп екінші шеңберімізді салайық. Басқаша айтқанда, екінші шеңберімізді оның орталық нүктесі үлкен шеңбердің радиусының ортасы болатындай етіп салайық.
Есіңізде болсын, Аполлондық тығыздағыштарда жанасатын барлық шеңберлер бір -біріне жанасады. Егер сіз шеңберлерді қолмен салу үшін компасты қолдансаңыз, қарындашыңызды үлкен шеңбердің шетіне тиетіндей етіп реттеп, компастың өткір нүктесін үлкен сыртқы шеңбердің радиусының ортасына қойып, осы әсерді қайта жасаңыз. содан кейін кіші ішкі шеңберді сызыңыз
4 -қадам. Кішкене ішкі шеңберді «көлденеңінен» бірдей шеңбер салыңыз
Әрі қарай, біз бірінші шеңберден басқа шеңбер құрайық. Бұл шеңбер үлкен сыртқы шеңберге де, кіші ішкі шеңберге де жанасуы керек, яғни сіздің екі ішкі шеңберіңіз үлкен сыртқы шеңбердің дәл ортасына тиіп кетеді.
Қадам 5. Келесі шеңберлердің өлшемін табу үшін Декарт теоремасын қолданыңыз
Бір сәтке сурет салуды доғарайық. Енді біздің тығыздағышта үш шеңбер бар болғандықтан, біз келесі шеңбердің радиусын табу үшін Декарт теоремасын қолдана аламыз. Есіңізде болсын, Декарт теоремасы d = a + b + c ± 2 (шаршы (a × b + b × c + c × a)), мұнда a, b және c - сіздің үш жанама шеңбердің қисық сызығы, ал d - үшеуіне де жанасқан шеңбердің қисаюы. Ендеше, келесі шеңберіміздің радиусын табу үшін, келесі шеңбердің қисықтығын табу үшін, әзірге бізде болған шеңберлердің әрқайсысының қисықтығын табайық, содан кейін оны оның радиусына түрлендірейік.
-
Сыртқы шеңберіміздің радиусын келесідей анықтайық
1 -қадам.. Басқа шеңберлер осы шеңберде болғандықтан, біз оның ішкі қисықтығымен айналысамыз (сыртқы қисықтықтан гөрі), демек, оның қисықтығы теріс екенін білеміз. -1/r = -1/1 = -1. Үлкен шеңбердің қисаюы - бұл - 1.
-
Кіші шеңберлердің радиустары үлкен шеңбердің жартысына тең, немесе басқаша айтқанда 1/2. Бұл шеңберлер бір -біріне және үлкен шеңберге сыртқы жиегімен тиіп тұрғандықтан, біз олардың сыртқы қисықтықтарымен айналысамыз, сондықтан олардың қисықтары оң болады. 1/(1/2) = 2. Кіші шеңберлердің қисық сызықтары екеуі де
2 -қадам..
-
Енді біз Декарт теоремасы үшін a = -1, b = 2 және c = 2 екенін білеміз. D үшін шешейік:
- d = a + b + c ± 2 (шаршы (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (шаршы (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (шаршы (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Біздің келесі шеңбердің қисықтығы
3 -қадам.. 3 = 1/r болғандықтан, біздің келесі шеңбердің радиусы 1/3.
Қадам 6. Келесі шеңберлер жиынтығын жасаңыз
Келесі екі шеңберді салу үшін жаңа тапқан радиус мәнін пайдаланыңыз. Есіңізде болсын, олар Декарт теоремасында a, b және c үшін қисық сызықтарды қолданған шеңберлерге жанасатын болады. Басқаша айтқанда, олар бастапқы шеңберге де, екінші шеңберге де жанасатын болады. Бұл шеңберлер үш шеңберге де жанасуы үшін, оларды үлкен бастапқы шеңбердің жоғарғы және төменгі жағындағы ашық кеңістіктерге салу керек.
Есіңізде болсын, бұл шеңберлердің радиустары 1/3 тең болады. Сыртқы шеңбердің шетінен 1/3 артқа өлшеңіз, содан кейін жаңа шеңбер сызыңыз. Ол айналадағы үш шеңберге де жанасуы керек
Қадам 7. Дөңгелектерді қосуды жалғастыру үшін осылай жалғастырыңыз
Фракталдар болғандықтан, аполлондық тығыздағыштар шексіз күрделі. Бұл сіздің жүрегіңіздің мазмұнына кішірек және кішірек шеңберлер қосуға болатынын білдіреді. Сіз тек құралдардың дәлдігімен шектелесіз (немесе егер сіз компьютерді қолдансаңыз, сурет бағдарламаңыздың «үлкейту» мүмкіндігі). Әр шеңбер қаншалықты кішкентай болса да, басқа үш шеңберге жанасуы керек. Әр келесі шеңберді тығыздағышқа салу үшін Декарт теоремасына жанасатын үш шеңбердің қисық сызығын қосыңыз. Содан кейін жаңа шеңберді дәл салу үшін жауабыңызды қолданыңыз (бұл сіздің жаңа шеңберіңіздің радиусы болады).
- Назар аударыңыз, біз салуды таңдаған тығыздағыш симметриялы, сондықтан бір шеңбердің радиусы «оның қарсы жағындағы» сәйкес шеңбермен бірдей. Алайда, әрбір аполлондық тығыздағыш симметриялы емес екенін біліңіз.
-
Тағы бір мысалға тоқталайық. Айтайық, соңғы шеңберлердің суретін салғаннан кейін, енді үшінші жиынға, екінші жиынға және үлкен сыртқы шеңберімізге жанасатын шеңберлерді салғымыз келеді. Бұл шеңберлердің қисық сызықтары сәйкесінше 3, 2 және -1. Бұл сандарды a = -1, b = 2 және c = 3 етіп Декарт теоремасына қосамыз:
- d = a + b + c ± 2 (шаршы (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (шаршы (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (шаршы (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (шаршы (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Бізде екі жауап бар! Алайда, біз білеміз, өйткені біздің жаңа шеңбер ол жанасатын кез келген шеңберден кіші болады, тек қисықтық
6 -қадам. (демек, радиусы 1/6) мәні бар.
- Біздің басқа жауап, 2, шын мәнінде, біздің екінші және үшінші шеңберлеріміздің жанама нүктесінің екінші жағындағы гипотетикалық шеңберді білдіреді. Бұл шеңбер болып табылады бұл екі шеңберге де, үлкен сыртқы шеңберге де жанасады, бірақ ол біз сызған шеңберлермен қиылысады, сондықтан оны елемеуге болады.
Қадам 8. Қиындық үшін екінші шеңбердің өлшемін өзгерту арқылы симметриялы емес аполлондық тығыздағыш жасап көріңіз
Барлық аполлондық тығыздағыштар бірдей басталады - үлкен сыртқы шеңбермен, ол фракталдың жиегі ретінде әрекет етеді. Алайда, сіздің екінші шеңберіңізде міндетті түрде бірінші радиустың 1/2 бөлігі болуы керек екендігіне ешқандай себеп жоқ - біз мұны жоғарыда таңдадық, себебі бұл қарапайым және түсінікті. Көңіл көтеру үшін, көлемі бойынша екінші шеңбері бар жаңа тығыздағышты бастауға тырысыңыз - бұл барлаудың қызықты жаңа жолдарына әкеледі.
